今年获得菲尔兹奖的邓煜，目标就是要解决物理学中的希尔伯特第六问题，即物理学中微观的粒子牛顿动力学是确定的、可逆的，但是宏观的气体热力学规律却是用玻尔兹曼方程来描述，是概率的、不可逆的、常带耗散和熵增的。这种微观和宏观之间的矛盾怎么调和。

微观粒子的牛顿动力学不用多解释。它把微观粒子看作硬球，每个粒子有自己的物理量（位置、速度、质量、动量）。与另外一个粒子发生的碰撞会改变物理量。

玻尔兹曼方程描述的是非平衡状态热力学系统的统计行为，具有温度梯度的流体即为这类系统的一个经典的例子：构成流体的微粒在系统中通过随机而具有偏向性的运动让热量从较热的区域流向较冷的区域。这个方向性，就是热力学第二定律，即“不可能把热量从低温物体传递到高温物体而不产生其他影响。”因此，第二类永动机永不可能实现，孤立系统的熵总体上只会增加，不会减少。

科学家一直没有找到从牛顿动力学推导到热力学方程的方法，这两类方程看上去互相不兼容。比如说，牛顿力学中，粒子的运动是可逆的。粒子既然可以在空间中从左向右飞，那么也可以从右向左飞；两颗粒子的碰撞既然是弹性碰撞，那么只要把碰撞后的两个粒子速度同时反向，它们就会严格沿原来的路径倒回去，恢复到碰撞前的状态。因此，从微观的角度来看，粒子系统天然没有时间箭头，任何运动总是可以被倒放。

但是玻尔兹曼的热力学方程，对气体粒子的描述并不使用牛顿物理量（速度、动量等），而是使用概率密度。玻尔兹曼方程解的熵是时间的单调增函数，气体会自发从不均匀走向均匀，也就是熵最大的状态，热量总是从高温流向低温。

邓煜把希尔伯特第六问题的证明向前推进了一大步：在特定情况下，牛顿动力学可以收敛到玻尔兹曼方程。邓煜的创新之处，在于提出了一种切割算法，在这种算法里，把粒子的碰撞分为两类，好碰撞（树状结构）和坏碰撞（环状结构）。好碰撞的积分会收敛，坏碰撞的积分会发散。邓煜证明了在以上两个前提条件下，他构造出的切割算法可以保证好碰撞的数量不小于坏碰撞数量的某个常数倍，使得误差有了合适的上界，从而建立起严格的推导过程。这是邓煜获得菲尔兹奖的重要贡献。

图示来自「道可道Science」公众号

但要注意的是，邓煜的证明只是特定条件下的狭义证明，并没有完全解决希尔伯特第六问题，还有很多矛盾留待解决。

特定条件依然非常严格。首先，是稀薄气体。其次，粒子之间不能有隐藏的初始状态相关性。

反过来，从邓煜证明的前提条件，也可以更好看出宏观跟微观规律的断裂点在哪里。

第一个前提条件，气体要足够稀薄。这意味着粒子足够小，不能出现极其拥挤的情况。蕴含的数学模型是粒子数量是无限多的，但是粒子所占的体积等比例扩大，使得一颗粒子在单位时间内的碰撞次数却是有限的，而且也不是完全不碰撞。这就排除了稠密粒子的这种宏观，保留了可以形成统计规律的普通碰撞，排除了复杂的多次碰撞、局部堵塞等会出现的新问题。复杂的再碰撞和高阶相关对结果的贡献会消失，即使微观上相关性实际存在，在极限里不再影响宏观闭合方程。

第二个前提条件，粒子之间不能有隐藏的初始状态相关性，并且只观察低阶统计量。emmm这个其实可能是个bug，因为这个前提其实可以部分推导出熵增了，有点循环论证了。并且为了解决这个bug，还需要引出第三个前提条件。这个推导可能有些subtle，需要展开来说。

以牛顿力学为代表的经典物理认为，世界是完全确定的，今天看起来乱糟糟的一众粒子，最开始都是从宇宙爆炸的初始状态演变而来的，初始状态决定了后续世界的所有演变，随机性只是因为人类信息不足。三体系统、双摆系统都是具有混沌性质的简单动力系统，但这种混沌只是看起来运动毫无规律，单独看一个节点的运动，都跟另外两个节点强相关。因此，我们在使用牛顿动力学描述这个系统的时候，不能只看单个节点的状态，还得看两个节点之间的相关性（二阶状态），甚至N个节点之间的相关性（N阶、高阶状态），在后续任意时刻，高阶相关性都不为0。

但在宏观的玻尔兹曼方程中，它把系统描述成粒子的状态的概率分布，而不是确定性的。它要假设所有粒子的初始状态分布都是相互独立的，单个粒子的初始状态都是从一个概率分布中抽取出来的。这被叫做分子无序理论（molecular chaos）。而且在任意时刻，这种粒子状态分布的独立性都能维持，是这种分布的熵朝着一个方向变化。

这就跟确定性的牛顿力学相冲突了，在微观的牛顿动力学，即使假定在初始时刻所有粒子的物理量都是独立的，但是当两个粒子碰撞之后，这两个粒子的运动状态就相关了。

而且这也跟微观可逆相冲突。假设气体先扩散均匀，然后你把每颗粒子的速度全部反向，它当然会倒回去，重新聚在角落。但此刻看上去均匀的气体，其实带有极精细的隐藏相关性：每颗粒子的初始状态都和许多其他粒子的状态精确耦合，保证它们未来能重聚。因此，倒放后的状态不满足普通气体的独立性。看起来每个粒子都很普通，但是他们的高阶相关性一点都不普通。只有从近似独立的初始状态出发，玻尔兹曼方程有效，熵增成为必然；否则，就不能确保不可逆熵增。

这就是微观和推出宏观的最困难的障碍。这也是我为什么说，第二个前提条件有点循环论证了。谜底就在谜面上：要熵增，必须初始状态不相关。

参考文献：

[1] 新华网. (2026, July 24). 中国数学家邓煜、王虹获得菲尔兹奖.
[2] Deng, Y., Hani, Z., & Ma, X. (in press). Long time derivation of the Boltzmann equation from hard sphere dynamics. Annals of Mathematics.
[3] 北京国际数学研究中心BICMR. (2026, March 17). 无尽的数学｜邓煜等人关于希尔伯特第六问题的工作.
[4] 道可道Science. (2026, July 26). 邓煜菲尔兹奖，藏着1个牛B结论：熵增定律的根源，竟然是数学结构！