【概率世界】03 修正的归纳法

逻辑入门第一课:归纳法很常用。逻辑入门第二课:归纳法不是那么有效。归纳法是从众多观测的现象中总结规律,寻找现象背后等原因,以便推广到一般化的情况。这是最常用、浅显而且符合直觉的方法,而且在相当长的时间内,被视为是人类科学知识的来源。但是归纳法有致命的弱点:它无法确保正确的知识。归纳法所总结的规律是基于已经观测到的现象;而对于没有观测到的那些现象,归纳法需要假设(或者推断)它们和已经观测到的现象是一样的,这个假设是无法且不可能被归纳法所证实的。归纳法的失效最为人所知的例子就是黑天鹅的出现。在欧洲,所有的天鹅都是白色的,因此人们一直相信所有的天鹅都是白色的——直到澳大利亚发现了黑色的天鹅。若归纳法会失效,那么所有的人类知识都有可能是错误的。人们相信万有引力之所以是万有的,有可能只是因为还没有观测到不存在引力的情况。

上面所说的归纳法其实是弱归纳法,与此区别的是强归纳法,而强归纳法是能够保证正确的知识的。强归纳法通常出现在数学的证明中。强归纳法和弱归纳法的区别在于,强归纳法不需要引入那个致命的假设(未观测到的现象与已观测到的现象是一样的),因为它事实上是全体的枚举法,它将所有的现象都包含在了观测范围中,以确保没有漏网之鱼。然而强归纳法在现实中的应用非常有限,并非所有事情都能够全体枚举。特别对于未来的事情,若未发生,如何观测?

可是否定归纳法的有效性又是反直觉的。试想对于“所有的天鹅都是白色”这个说法,如果人们只看到十只天鹅都是白色的,他们或许会对这个说法产生怀疑;但是人们若看到十万只天鹅都是白色的,那么这个说法拥有更高的可信度。因此如果由于归纳法是无效的,所以不管看到多少只天鹅都不会对人们的观念的确定性产生影响,又欠缺妥当。所以又有了修正的归纳法。修正的归纳法承认知识不可能绝对正确,但是可以在“某种程度上”是正确的。如果人们只看到十只白天鹅,则有99.9%的可能性超过万分之一的天鹅不是白色的,所以人们基本都会对这个说法产生怀疑;而如果人们看到十万只白天鹅,则错误的可能性下降到万分之0.5。如果预测未来见到的下一只天鹅,那么它是白色的可能性也更大了。如此我们可以将知识从观测的部分现象有概率地推广到全体,而且不确定性也能够精确地衡量了。

确定性也只是不确定性的特例,是发生概率等于100%的特例。让我们重新审视确定性下的观念,会发生他们都是不严谨的。当我们在谈“因为A所以B”的时候,甚至不是表示因果必然性,而是在说P(B|A)趋近于1。既然只是趋近而不是相等,那就意味着凡事没有绝对,必然的因果联系下也会有特殊情况的产生。

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附:“已知的未知”和“未知的未知”

美国国防部长拉姆斯菲尔德说过:“据我们所知,有已知的已知;我们也知道,有已知的未知。但是同样存在未知的未知——有些事情我们根本不知道我们不知道”。这段话原本只是一位深陷伊战危机的政治家应对新闻记者的政治说辞,不过它恰好指出了修正的归纳法的弱点。修正的归纳法还是没有真正解决有效性的问题。这是后话。

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